La loi de poisson appliquée au football

La loi de poisson appliquée au football


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La loi de poisson, utilisée avec des données historiques, est la méthode la plus simple et la plus répandue pour estimer le nombre probable de buts qui seront marqués lors d’une rencontre sportive (football, basket, handball etc.). Tout parieur ambitieux devrait la connaitre, non pas obligatoirement dans les détails mais pour au moins savoir comment les bookmakers construisent leurs cotes.

Qui connaît son ennemi comme il se connaît, en cent combats ne sera point défait. Sun Tzu

La loi de Poisson en quelques mots

La loi de Poisson est un concept mathématique qui la probabilité de résultats futurs à partir d’une simple moyenne.
Exercice: Olivier Giroud a une moyenne de 0,5 but marqué par match, quelle est la probabilité qu’au prochain match joué le pensionnaire d’Arsenal marque 1 but, 2 but, fasse un hat-trick ou ne marque pas?
Ne vous creusez pas trop la tête, Siméon Denis Poisson, un mathématicien français vous a mâché le boulot, il y a presque deux siècles, et le résultat est:
Aucun but : 60,7%, 1 but: 30,3%, 2 buts: 7,6% et 3 but:1,3%. Pourtant on aurait pu penser que 0,5 se situant à mi-chemin entre 0 et 1, la probabilité de ces deux occurrences serait égale.

Vous n’ignorer pas que si vous avez les probabilités justes vous avez les cotes justes. En reprenant notre exemple, on peut dire que la cote juste de voir le playboy de l’équipe de France marquer un but est de 3,30 (1/30,3%). Si votre bookmaker vous propose ce pari à @3,5 il faut l’acheter et s’il ne vous en offre que @3,2 passer votre chemin.

Comment évaluer résultats possible d’un match avec la loi de Poisson

Pour calculer les probabilités des scores finaux d’une rencontre de football nous avons besoin d’évaluer, pour chacune des deux équipes la force de son attaque et la force de sa défense. Cette évaluation, basée sur des résultats passés, va nous permettre d’attribuer une probabilité de résultat pour la saison actuelle.

Le choix de la série historique pour faire ce calcul doit être judicieux. Un historique trop long a de forte chance de ne pas refléter la vrai force d’un équipe, les résultats de l’Olympique lyonnais du début des années 2000 sont très loin d’être le reflet fidèle de ce équipe aujourd’hui. A l’inverse un échantillon trop restreint a de forte chance d’exagérer un accident, la valeur des Auriverdes , l’équipe nationale brésilienne, ne saurait être mesurée à l’aune des deux dernier matchs perdus 1-7 et 0-3.

Un exemple réel: PSG vs O.M. en championnat de France

On va d’abord s’intéresser aux statistiques globales du championnat concerné. Pendant la saison 2013-2014 du championnat français de ligue 1, 536 buts ont été marqués à domicile par les 20 équipes lors des 19 rencontres (20-1, chaque équipe reçoit 19 fois) alors 395 buts ont été marqué à l’extérieur.

  • Nombre moyen de buts marqués à domicile/concédés à l’extérieur: 536/20/19=1,411
  • Nombre moyen de buts marqués à l’extérieur/ concédés à domicile: 395/20/19=1,040

Nous pouvons maintenant utiliser ces deux paramètres pour calculer les probabilités du résultat d’une rencontre à venir de la saison 2014-2015. Prenons comme exemple le Classico PSG vs Olympique de Marseille.

PGS_2013_logo
om
Prédiction des buts du PSG
Prédiction des buts de l’OM

Calcul de la force de l’attaque du PSG
Calcul de la force de l’attaque de l’OM

♠ Prendre le nombre de buts marqués à domicile la saison dernière par l’équipe qui reçoit (PSG: 51) et le diviser par le nombre de matchs à domicile (19): 51/19=2,684. 
♠ Prendre le nombre de buts marqués à l’extérieur la saison dernière par l’équipe qui se déplace (O.M.: 23) et le diviser par le nombre de matchs à l’extérieur (19): 23/19=1,210.
♣ Diviser la valeur trouvée (2,684) par la moyenne par match des buts marqués à domicile de l’ensemble de la ligue 1 (1,411) pour obtenir « la force de l’attaque »: 2,684/1,411=1,902. Cela montre que le PSG marque 90,2% plus de buts  à domicile que la moyenne. Un record.
♣ Diviser la valeur trouvée (1,210) par la moyenne par match des buts marqués à l’extérieur de l’ensemble de la ligue 1(1,040) pour obtenir « la force de l’attaque »: 1,21/1,040=1,164. Cela montre que l’O.M. marque 16,4% plus de but  à l’extérieur que la moyenne.

Calcul de la force de la défense de l’O.M.
Calcul de la force de la défense du PSG
♥ Prendre le nombre de buts concédés à l’extérieur par l’équipe qui se déplace (O.M.: 20) et le diviser par le nombre de matchs à domicile (19): 20/19=1,053. 
♥ Prendre le nombre de buts concédés à domicile par l’équipe qui reçoit (PSG: 7) et le diviser par le nombre de matchs à domicile (19): 7/19=0,368.
♦ Diviser la valeur trouvée (1,053) par la moyenne par match des buts concédés de l’ensemble de la ligue 1 (1,411) pour obtenir « la force de la défense »: 1,053/1,411=0,746. L’O.M. encaisse 25,4%% moins de buts  à l’extérieur que la moyenne.
♦ Diviser la valeur trouvée (0,368) par la moyenne par match des buts concédés de l’ensemble de la ligue 1 (1,040) pour obtenir « la force de la défense »: 0,368/1,040=0,354. Le PSG encaisse 64,62% moins de buts  à domicile que la moyenne.
Nous pouvons maintenant calculer la probabilité  du nombre de buts que l’équipe jouant à domicile (le PSG) a de marquer.
 Nous pouvons maintenant calculer la probabilité du nombre de buts que l’équipe jouant à l’extérieur (l’OM) a de marquer.
– Nombre de buts du PSG = (Force de l’attaque du PSG) x (force de défense de l’O.M.) x (nombre moyen de buts).
– Nombre de buts de l’O.M. = (Force de l’attaque de l’O.M.) x (force de défense du PSG) x (nombre moyen de buts).
⇒ Nombre de buts du PSG = 1,902 x 0,746 x 1,411 = 2
⇒ Nombre de buts de l’O.M. = 1,210 x 0,368 x 1,040= 0,463

 La distribution des probabilités du score finale selon la loi de poisson

Évidemment, la probabilité que le score soit de 2 – 0,463 est égale à zéro, ce n’est qu’une moyenne. C’est à ce moment que la loi de Poisson est incontournable pour  attribuer une probabilité de réalisation à tous les scores possibles (les entiers naturels, 0 – 0, 1 – 0, 0 – 1, 2 – 0, etc.).

La formules mathématique est un peu ésotérique pour la plupart d’entre nous, heureusement il existe de nombreux calculateurs en ligne de la loi de Poisson sur comme celui-ci et qui vous donneront les résultats que j’ai récapitulé dans le tableau suivant:

Loi de Poisson appliquée à la rencontre PSG vs OM

012345 et +
PSG13,5%27,1%27,1%18%9%5,3%
O.M.62,9%27,1%6,7%1%0,1%0,1%

Comment lire ce tableau:

L’O.M. a 62,9% de chance ne n’inscrire aucun but et seulement 1% d’inscrire 3 buts. Le PSG a 27,1% d’inscrire 1 but. On peut combiner deux espérance de nombre de but de chaque équipe pour obtenir le résultat final de la rencontre en faisant une simple multiplication. Par exemple, il y a 11,32% (18% x 62,9%) de chance que le score  finale soit 1 -0.

Les limites de la loi de Poisson

La première limite de la loi de Poisson appliquée aux paris sportifs est la pertinence de l’échantillon retenu. 38 matchs pour évaluer les forces de l’attaque et de la défense d’une équipe c’est léger. A titre de comparaison, un sondage pour une élection présidentielle doit au moins comporter 500 sondés pour être considéré comme fiable.

Il n’existe aucun championnat au monde qui soit identique deux années consécutives. Il y a des transferts, des joueurs arrivent d’autres partent et il est toujours périlleux de chiffrer l’influence de ces mouvements sur le niveau d’une équipe. Et je ne parle que des joueurs mais il faut aussi tenir compte de l’influence du staff qui la plupart de temps est complétement ignoré des supporters. Mais en imaginant le cas inimaginable d’un championnat qui ne connaitrait aucun mouvement, il est évident qu’en l’espace d’une année des joueurs se bonifient et que d’autre régressent. Qu’un joueur abandonner par son épouse durant l’été ne revient pas à la rentrée avec le même état d’esprit; cela peut ne pas l’affecter, comme lui mettre le moral dans les chaussettes ou encore devenir un warrior.

Par ailleurs il y a de nombreuses circonstances exceptionnelles qui a force de se répéter ne méritent plus cet adjectif qu’on leur accolent. L’équipe qui en fin de championnat joue sont maintient ou une place en Champions League est à « 120% ». Celle qui est dans le ventre mou du classement n’a plus de challenge à affronter.

Quel est l’intérêt de savoir calculer soit-même des probabilité?

Si vous me permettez une comparaison, savoir utiliser la loi de Poisson, c’est un peu comme savoir voler avec un avion aux instruments. Le pilote qui ne vole qu’en plein jour et avec des conditions météo idéales n’en a pas besoin mais en cas de pépin il se trouvera fort dépourvu.

Il faut arrêter de se reposer tout le temps sur les estimations des books. Si vous savez traduire en terme de probabilité de nouvelles informations ou des informations anciennes mal évaluées par ces même books vous pouvez devenir un Book killer (Même si je n’aime pas cette expression)! Vous allez pouvoir calculer la valeur juste d’un événement. C’est comme cela que travaillent les meilleurs chercheurs de valuebet.

En fait l’intérêt de maitriser ces outils de statistiques, ou au moins de s’en servir car il existe tant de calculatrices online gratuites, est le plus fort si vous pratiquer l’exchange betting sur des marchés petits ou moyens et où aucun book n’est présent pour indiquer au reste du marché la direction à prendre. C’est vous le market-maker (le coteur), celui qui prend le plus de risque mais aussi celui qui peut obtenir les meilleures marges.

Il n’y a pas que le football dans la vie. Toute rencontre sportive peut donner lieu à une évaluation par la loi de Poisson, qui d’ailleurs n’est pas non plus l’unique outil de prédiction, il en existe bien d’autre, mais comme c’est la plus connue et qu’en plus c’est un Français qui l’a découverte, on ne va pas s’en priver. La seule condition est d’avoir des séries statistiques exploitables. Donc l’utiliser sur une rencontre de boxe, qui voit s’affronter un Rocky Balboa tout droit sorti de nul part, n’a aucun sens.

 

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  • Raphael

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    Très bon article 🙂 !

  • Paul

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    merci pour cet article! 😉 , juste pour faire le tableau avec les %, j’ai qques difficultés mais je l’ai fait en cours, y’a 2 ans donc je devrais m’en sortir! Bonne continuation et je repasserais sur ton site pour lire les nouveautés.


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      Bonjour Paul et merci,

      Tu peux même t’inscrire à la newsletter.

  • thom

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    Salut à toi !
    Encore merci pour l’article,
    J’aurais aimé savoir si tu pouvais précisé un peu plus le chemin à suivre pour arriver au « tableau avec les %  » depuis les informations que tu donnes dans le calculateur, à savoir infos concernant le championnat et infos concernant les deux équipes.
    Merci 🙂

  • thom

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    Bonjour,
    Encore merci pour cet article.
    Je voulais savoir si tu pouvais préciser le chemin pour arriver au « tableau avec % » depuis les infos à rentrer dans le calculateur donc infos sur le championnat et infos sur les deux équipes.

    De plus, si on rentre des informations de mie-saison sur le championnat et les deux équipes, les valeurs sont-elles cohérentes ? n’y a-t-il pas une dépendance avec le nombre de matchs jouer ?

    Merci !


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      Bonjour,

      Pour arriver au tableau avec les % , il faut renseigner une série de données (Nombre de match, nombre de nuits encaissés , nombre de buts marqués etc.) Tu peux trouver ces renseignements sur des sites spécialisés ou sur ceux des fédérations de foot. Puis il faut saisir ses stat sur un calculateur (comme celui que je propose http://www.dutching.fr/la-loi-de-poisson/).

      Plus il y a d’info et plus le résultat a de chance d’être pertinent. Le problème de la mi-saison est que les rencontres de la deuxième demi-saison doivent être du même niveau. Si un équipe moyenne a rencontré beaucoup de petites équipe, ses stats vont être artificiellement bonnes mais cela ne reflètera pas la valeur réelles des joueurs.